No, non mi riferisco al quarto libro della Bibbia. Voglio invece commentare i giochi numerici che appaiono spesso su FB, ispirato dall’ultimo dell’amico Mario, che qui riporto

Noi che abbiamo fatto le scuole alte, vediamo subito che è un sistema di equazioni.

In realtà noi abbiamo studiato sistemi lineari con risultati razionali, e poi anche complessi, e anche un po’ di sistemi non lineari.

Non abbiamo invece studiato equazioni con risultati interi. Quelli di moda, in era ante FB, sulla Settimana Enigmistica, del tipo x Polli + y Mucche = z Zampe. Ho un vivo ricordo del primo anno di Poli quando ho chiesto al prof di Geometria I, bravo e simpatico, come si risolvevano quelle equazioni e lui mi ha risposto “non so”. Forse non voleva perdere tempo con me. Comunque ho poi scoperto la Matematica degli Interi che spiega tutto. Non vi dico nulla perché anche voi sapete usare Google: “Integer Math” mi dà 34.600.000 risultati!

Ma queste del giochino sono ancora un altro tipo di equazioni: le incognite non sono i numeri ma gli operatori. Bisogna cioè scoprire quali operatori applicati ai coefficienti del lato sinistro, producono il lato destro.

Naturalmente il + che compare nella figura è fittizio e si dovrebbe scrivere come funzione, cioè

F(1,4) = 5, F(2,5) = 12, F(3,6) = 21 e chiedere cosa vale F(8,11)? O più in generale chiedere di trovare come esprimere con operatori tradizionali la funzione F(a,b). La ovvia risposta in questo caso è a * b + a

Detto ciò, cominciamo a “fare le pulci” al giochino.

Il giochino non definisce le regole, ad esempio

  1. Si devono usare solo operatori o anche altri coefficienti (o costanti)?
  2. Il risultato deve essere univoco?
  3. Si tratta di una serie di equazioni o sono indipendenti?

Potreste dirmi che sono regole di buon senso, ma la matematica si può permettere regole certe, e infatti alcune soluzioni, o approcci dipendono dall’aver equivocato queste regole.

Vi faccio l’esempio di un’altra soluzione che ho trovato, che ha a che fare con le regole a) e b):

b^2 – serie[a], dove serie è un serie di interi con valore {11, 13, 15 … ecc}, cioè numeri naturali dispari che iniziano da 11.

Infatti

F(1,4) = 16 – 11 = 5

F(2,5) = 25 – 13 = 12

F(3,6) = 36 – 15 = 21

F(8,11) = 121 – 25 = 96 (notate che l’ottavo elemento di serie è appunto 25)

È anche interessante vedere che se, ad esempio, si estende la serie ai valori precedenti (cioè 9, 7, 5, ecc) il giochino continua a funzionare. Ad esempio

F(0,3) = 0*3+0 = 0 e anche 9 – 9 = 0 (9 precede 11 nella serie dei dispari)

F(-1,2) = -1*2+-1 = -3 e anche 4 – 7 = -3

A questo punto mi domando: ma non sto contraddicendo la regola b)? Cioè non è che ho solo scritto in modo diverso la funzione base? Per essere chiaro una soluzione del tipo a*b+c+b-b sarebbe chiaramente inaccettabile visto che è uguale a quella base.

Beh, io, a occhio, non vedo che la mia soluzione sia uguale a quella base, ma ci dovrei pensare un po’ di più.

Infine serie o non serie?. Chiaramente io ho sfruttato il concetto di serie di equazioni, trattando il coefficiente a come indice nella serie. Invece, e questo è importante, la formula base non fa alcun uso del concetto di serie: a e b sono solo due numeri.

Ho visto in molti altri esempi, che spesso chi trova la soluzione lo fa usando il concetto di serie e cioè  calcola i valori intermedi, in questo caso tra 3 e 8. Nulla di male, salvo che sembra che si sia dimenticata la tabellina pitagorica e si sappia solo sommare e non moltiplicare!

Ma, sorpresa, la soluzione di chi ha trovato 40, dicendo che fa la somma dei valori precedenti, non è errata (come qualche autorevole commentatore ha detto) perché non è noto il valore della funzione prima della prima, che infatti è proprio 0 = F(0,3), ma perché non ha completato la serie trattando la F(8,11) come successiva a F(3,6) e non a F(7,10), come sarebbe corretto.

Finito, e anche per oggi il mio pezzo l’ho fatto. L’editore sarà contento,

Commenti   

0 # Crosstalk 2016-10-06 20:39
Contento no: entusiasta si!
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0 # Mario 2016-10-06 22:09
Mi sembra di avere già fatto questo commento ad un post i Enrico: prof si diventa ... e si resta. Chapeau.
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+1 # Loris 2016-10-07 00:02
Non vorrei portare i miei caproni a mangiare le tue margheritine, ma, a me, sembra una banalissima sommatoria. 1+4=5 +(2+5) =12 +(3+6) =21 +(8+11) =40
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0 # Enrico 2016-10-07 00:14
Citazione Loris:
Non vorrei portare i miei caproni a mangiare le tue margheritine, ma, a me, sembra una banalissima sommatoria. 1+4=5 +(2+5) =12 +(3+6) =21 +(8+11) =40


Può essere.

Sarebbe però uno strano modo di scrivere le somme, quello del problema. Secondo me è invece un sistema di equazioni.

Se io scrivessi

3*x + 2*y = 28
2*x + 4*y = 19

non ti verrebbe mai in mente di considerarlo come

28 + 2*x + 4*y ecc.

Generalmente fine linea indica fine espressione e non + (o qualche altro operatore), se non nella lista della spesa.

Ma posso sbagliarmi, e, come ho cercato di dire, chi propone il gioco dovrebbe anche dire le regole del gioco.

È matematica, ragazzi, non politica :lol:
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+1 # Enrico 2016-10-07 00:28
Vi devo confessare che non ho voluto cercare su Google prima di scrivere ... ma adesso l'ho fatto

guardate un po' qui

programmers.stackexchange.com/questions/76560/all-possible-solutions-to-equation-where-operators-are-arbitrary

ad esempio

E immagino ci siano altri mille siti simili :sad: :sad:
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+1 # PGRAECO 2016-10-07 19:39
Permettimi di contraddirti sull'incipit: il giochino non definisce le regole! Magari chi l‘ha proposto l’ha fatto per scelta consapevole e, dunque, ognuno può utilizzare le regole che più gli aggradano purché non determinino contraddizioni con l’universo mondo della matematica (e, magari, anche della logica). La conferma a quanto sopra, la suggerisci tu stesso, ponendo alcune domande sulle regole solo a titolo di esempio. Tant'è che è possibile arrivare a soluzioni diverse e non per questo sbagliate.

Riguardo al contenuto dell'articolo, sono piacevolmente stupito nel leggere i tuoi ragionamenti esposti in modo chiaro e comprensibile perfino a me che di queste cose non capisco una beata fava. Come per gli elenchi puntati, del resto! :lol:
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0 # beppe redi 2016-10-08 00:30
Io ho seguito lo stesso ragionamento di Loris, però completando la serie.
Questo per due ragioni:

*Mi sembra la logica implicita in questi giochetti, ovvero far sentire un genio chi sa fare le addizioni.

*Non ho fatto il Poli

Detto questo ho trovato l'articolo di Enrico grandioso.
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0 # Enrico 2016-10-09 18:00
Conclusione

Sono un pollo, sono un pollo, sono un pollo.

Adesso vi spiego perché

C'erano in aria due domande (che vi avranno fatto passare notti insonni)

  • La mia soluzione è equivalente a quella base?
  • Perché l'andamento delle parti destre è una parabola?


Ripetiamo la domanda, queste due espressioni:

a*b+a
e
b^2 - il valore della serie dei dispari, ecc

sono uguali?

Se scriviamo meglio la seconda espressione, togliendo di mezzo la serie di dispari che un po' disturbava, scrivendola in normale matematica, viene

b^2 -2*a -9

ma noi sappiamo, dai dati del gioco, che

b = a +3

e allora sostituendo b in entrambi le espressioni viene

a*(a+3) +a = (a+3)^2 -2*a-9

Se calcolate queste due espressioni vedete che sono identiche, cioè l'uguaglianza vale per qualsiasi valore di a.

Quindi: le due soluzioni sono identiche e l'andamento della curva è chiaramente la parabola

a^2 + 4*a

Anche per l'altro problemino (vedi addendum) con soluzione a*b, la parabola è ovviamente a^2 + 3*a

Quindi: sono un pollo, sono un pollo, sono un pollo ...
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0 # PGRAECO 2016-10-09 18:37
Ma sei proprio sicuro? Giuro che mi sembravi quasi UMANO :-) !
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0 # Enrico 2016-10-10 11:44
Mi rendo conto di essere rimasto solo su questo argomento, ma forse questa è la conclusione. Prometto che pagherò questi ulteriori byte usati sul sito.

Dunque: intanto abbiamo capito che il problemino è di fatto in una sola variabile perché i due termini del lato sinistro dell'uguaglianza sono legati dalla relazione fissa b = a + 3

Allora, ipotizziamo che il problema sia risolubile con una equazione di secondo grado del tipo

x*a^2 + y*a + z

dove a assume i valori noti 1, 2 , 3 e bisogna trovare x, y e z

viene quindi un sistemino di tre equazioni

x + y + z = 5
4*x + 2*y + z = 12
9*x + 3*y + z = 21

se risolvete il sistema (ottimo solutore on line qui wims.unice.fr/wims/wims.cgi) trovate

x = 1
y = 4
z = 0

che è appunto la soluzione a^2 + 4*a

Se invece fate il sistema per b, cioè

16*x + 4*y + z = 5
25*x + 5*y + z = 12
36+x + 6*y + z = 21

la soluzione è

x = 1
y = -2
z = -3

che è appunto la soluzione b^2 -2*b - 3

Potreste ancora chiedervi (son sicuro che tutti ve lo siete chiesto) perché ho ipotizzato una equazione di secondo grado e non, ad esempio di terzo grado.

La prima risposta è che avendo solo tre uguaglianze potevo cercare solo tre variabili.

Ma se volessi aggiungere una uguaglianza al giochino, cioè

4 + 7 = 32

potrei fare un sistema per l'equazione di terzo grado

w*a^3 + x*a^2 + y*a + z

ebbene, l'ho fatta e la soluzione è (sorpresa!)

w=0
x=1
y=4
z=0

insomma, è proprio una equazione di secondo grado

bello, no?
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0 # Anita 2016-10-27 20:15
Ciao cugino Enrico e ciao a tutti!

Io ho guardato la prima colonna (1 2 3 .... 8) e l'ultima (5 12 21...) e ci ho visto una f:N----->N cioè una successione: a(n)=n(n+4)

PS come sono arrivata qui non lo so!!! :D
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+1 # Enrico 2016-10-27 23:50
Citazione Anita:
PS come sono arrivata qui non lo so!!! :D


Benvenuta Anita

Io faccio umilmente e pacatamente notare che tutti questi giochini si possono risolvere, senza intuizione o tentativi, facendo un'ipotesi sul tipo di funzione f(n)=C che produce i risultati dati.
Ipotizziamo sia una polinomio di grado pari al numero dei valori dati e quindi
x*n^2+y*n+z -C = 0
sostituendo a n e C i valori dati, ottengo un sistema di equazioni di primo grado nelle incognite x, y, z che, in questo caso porta a z=0 e x=1 e y=4 esattamente come nella tua soluzione, naturalmente (n^2+4*n=C)
Naturalmente si potrebbe fare un gioco che nasconda funzioni più complesse con di mezzo operatori strani e quindi bisognerebbe fare ipotesi più complesse.
Anche per giochini semplici, cioè con funzioni polinomiali semplici, quando qualcuno metterà un giochino così

2 + 5 = 1649
3 + 6 = 60345
4 + 7 = 1050977
5 + 8 = 9769721
6 + 9 = 60472737
7 + 10 = 282485249
8 + 11 = 1073756465
9 + 12 = 3486805137
10 + 13 = 10000028561
11 + 14 = 25937463017
12 + 15 = 61917414849

20 + 23 = ??

vedi che il mio approccio è più sensato, visto che non si vede a occhio la soluzione.
Nota che, visto che ci sono 12 elementi dati, bisogna ipotizzare un polinomio del 10 grado (che non vi dico!) ;-)

Chiaro adesso?
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0 # anita 2016-10-27 20:17
PPS la prima faccina non c'entra nulla...doveva essere un "8 chiusa parentesi" ma messi vicini danno la faccina!
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